来源：新智元
[新智元导读]42，可以写成3个整数的立方和！这是数学界的一大突破，由MIT和布里斯托大学的数学家共同发现，他们以“生命、宇宙以及一切”的网页标题，公布了这一成果。
人类第一次将42写成了3个整数的立方和！
昨天，有人在 MIT 数学系的网站上贴出一个等式，网页很简单，但没给出结果：
（-80538738812075974）^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3
等于 42！
在推特上，菲尔兹奖得主高尔斯也转发了这个结果。
这是一个大新闻，因为至此，下面这句话成为了定理：
除了 9n±4 型自然数外，所有 100 以内的自然数都能写成三个整数的立方和。
是的，在此之前，42是100以内最后一个尚未找到立方和的整数解的自然数。现在，这个解也找到了。
找到这个等式的数学家是来自布里斯托大学的 Andrew Booker 和来自麻省理工学院的Andrew Sutherland。
Andrew Booker是布里斯托大学数学教授
Andrew Sutherland是MIT数学系首席研究科学家
今年3月， Andrew Booker 找到了33的立方和整数解，同样引起数学界轰动。昨天，Andrew Booker穿着印有“42”的T恤接受采访，解释了他们的研究过程。
在被问到“你们解决这个问题后，有没有兴奋得跳起来”时，Booker说：“我这次倒是没有跳起来，但是你知道，解决一个三、四十年来一直悬而未决的问题，实在是令人很满足！当然，这个论题本身还没有解决，下一个数字是114……”
有意思的是，两位数学家公布这一结果的网页标题是“生命、宇宙以及一切”（Life， the Universe and Everything）。
MIT的网页截图
在道格拉斯·亚当斯著名的《银河系漫游指南》系列中，42是“生命、宇宙以及一切的终极答案”。
茫茫宇宙中，一个 “具有超级智慧的泛维度种族” 对关于生命意义的无休止的争论感到厌烦了，他们决定一劳永逸地解决这个问题。他们建造了宇宙一切空间和时间中第二强大的电脑 “沉思”，向它寻求 “关于生命、宇宙，以及一切的终极答案”。
整整 750 万年后，“沉思” 给出了答案 —42。
面对这个玄妙的答案，泛维度种族需要回过头先弄明白生命宇宙以及一切的终极问题，方能理解答案。但 “沉思” 不能胜任此项艰巨的任务，它说：“你们需要一台能够计算出这个终极答案的电脑，这台电脑具有无限和微妙的复杂性，以至于有机生命本身将会成为操作母体的一部分。你们自身也会以一种新的生命形式投入到这台电脑中，去操控为期 1000 万年的程序。我将会为你们设计出这台电脑，并且我已为它取好名字。它将会被称为…… 地球。”
痴迷、痴狂！人类寻找三立方数和简史
人类为什么对这样一个等式如此着迷呢？
这个问题至少可以追溯到 1825 年，数学家想知道，如果给定整数 K，是否存在整数 X、Y、Z，满足：
X^3 + Y^3 + Z^3 = K。
数论领域下有一大分支叫“丢番图方程”：
x^3+y^3+z^3=k 是否存在整数解是丢番图方程中的一个问题。
丢番图 （Diophantine） 是一位古希腊的大数学家，被认为是第一位懂得使用符号代表数来研究问题的人。
丢番图和他的墓志铭
其中丢番图最著名的事迹可能就是他的墓志铭 —— 曾经连续多年出现在各地中小学生的寒假作业扩展训练上：
坟中安葬着丢番图。
多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。
上帝给予的童年占六分之一，
又过十二分之一，两颊长胡，
再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，
可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，
又过四年，他也走完了人生的旅途。
回到丢番图方程，由于立方数模 9 同余 0、1 或 - 1，三立方数和模 9 不可能同余 4 或 5，因而这是整数解存在的一个必要条件。因此9k+4或9k+5这种形式的整数不能写成三个立方数之和。然而，对于该条件是否同时为充分条件目前仍未有定论。
1992年，牛津大学的Roger Heath-Brown提出猜想，即其它所有整数都可以用无穷多种不同的方式写成三个立方体的和。在那以后，数学家们似乎已经被Heath-Brown的论点所说服，然而，找到把任何特定的数写成三个立方体之和的方法仍然是一个难题。
2000年，哈佛大学的Noam Elkies提出了一个实用的算法来寻找这类解。Elkies和其他数学家使用类似的方法，成功地为许多较小的整数找到了立方和的整数解。
2015年，数学家Tim Browning录制了一段视频，解释了这个问题。在那个时候，只有33、42和74这三个小于100的整数尚未找到解。这段视频让更多的人注意到了这个问题，并带来了一系列的突破。
Tim Browning的视频让更多数学家关注这个问题
受到这段视频的启发，几个月后，Sander Huisman找到了74的立方和整数解：
Tim Browning再次录制了一段关于Huisman解决74的视频。另一位数学家，即布里斯托大学的Andrew Booker看到了这段视频，决定解决这个问题。
他提出了一种新的算法，这种算法能更有效地找到一个特定数字的解。2019年2月27日，Booker公布了33的立方和整数解。
昨天，42也被解决了！Andrew Sutherland和Andrew Booker同时更新他们的主页，报告了42的立方和的整数解：
这意味着100以内的自然数的立方和的整数解全部找到！
1000以内还没找到解的整数只剩下：114，165，390，579，627，633，732，906，921 和 975。
100 以内三立方和的非零解全表
最后，附上 100 以内三立方和的非零解全表（多种写法选取其中一个）：
1 = （-1）³ + 1³ + 1³
2 = 7³ + （-5）³ + （-6）³
3 = 1³ + 1³ + 1³
4 不可能
5 不可能
6 = （-1）³ + （-1）³ + 2³
7 = 104³ + 32³ + （-105）³
8 = （-1）³ + 1³ + 2³
9 = 217³ + （-52）³ + （-216）³
10 = 1³ + 1³ + 2³
11 = （-2）³ + （-2）³ + 3³
12 = 7³ + 10³ + （-11）³
13 不可能
14 不可能
15 = （-1）³ + 2³ + 2³
16 = （-511）³ + （-1609）³ + 1626³
17 = 1³ + 2³ + 2³
18 = （-1）³ + （-2）³ + 3³
19 = 19³ + （-14）³ + （-16）³
20 = 1³ + （-2）³ + 3³
21 = （-11）³ + （-14）³ + 16³
22 不可能
23 不可能
24 = （-2901096694）³ + （-15550555555）³ + 15584139827³
25 = （-1）³ + （-1）³ + 3³
26 = 297³ + 161³ + （-312）³
27 = （-1）³ + 1³ + 3³
28 = 14³ + 13³ + （-17）³
29 = 1³ + 1³ + 3³
30 = （-283059965）³ + （-2218888517）³ + 2220422932³
31 不可能
32 不可能
33 = 8866128975287528³ + （-8778405442862239）³ + （-2736111468807040）³
34 = （-1）³ + 2³ + 3³
35 = 14³ + （-8）³ + （-13）³
36 = 1³ + 2³ + 3³
37 = 50³ + 37³ + （-56）³
38 = 1³ + （-3）³ + 4³
39 = 117367³ + 134476³ + （-159380）³
40 不可能
41 不可能
42 = （-80538738812075974）³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³
43 = 2³ + 2³ + 3³
44 = （-5）³ + （-7）³ + 8³
45 = 2³ + （-3）³ + 4³
46 = （-2）³ + 3³ + 3³
47 = 6³ + 7³ + （-8）³
48 = （-23）³ + （-26）³ + 31³
49 不可能
50 不可能
51 = 602³ + 659³ + （-796）³
52 = 23961292454³ + 60702901317³ + （-61922712865）³
53 = （-1）³ + 3³ + 3³
54 = （-7）³ + （-11）³ + 12³
55 = 1³ + 3³ + 3³
56 = （-11）³ + （-21）³ + 22³
57 = 1³ + （-2）³ + 4³
58 不可能
59 不可能
60 = （-1）³ + （-4）³ + 5³
61 = 845³ + 668³ + （-966）³
62 = 3³ + 3³ + 2³
63 = 7³ + （-4）³ + （-6）³
64 = （-1）³ + 1³ + 4³
65 = 91³ + 85³ + （-111）³
66 = 1³ + 1³ + 4³
67 不可能
68 不可能
69 = 2³ + （-4）³ + 5³
70 = 11³ + 20³ + （-21）³
71 = （-1）³ + 2³ + 4³
72 = 7³ + 9³ + （-10）³
73 = 1³ + 2³ + 4³
74 = （-284650292555885）³ + （66229832190556）³ + （283450105697727）³
75 = 4381159³ + 435203083³ + （-435203231）³
76 不可能
77 不可能
78 = 26³ + 53³ + （-55）³
79 = （-19）³ + （-33）³ + 35³
80 = 69241³ + 103532³ + （-112969）³
81 = 10³ + 17³ + （-18）³
82 = （-11）³ + （-11）³ + 14³
83 = （-2）³ + 3³ + 4³
84 = （-8241191）³ + （-41531726）³ + 41639611³
85 不可能
86 不可能
87 = （-1972）³ + （-4126）³ + 4271³
88 = 3³ + （-4）³ + 5³
89 = 6³ + 6³ + （-7）³
90 = （-1）³ + 3³ + 4³
91 = 364³ + 192³ + （-381）³
92 = 1³ + 3³ + 4³
93 = （-5）³ + （-5）³ + 7³
94 不可能
95 不可能
96 = 10853³ + 13139³ + （-15250）³
97 = （-1）³ + （-3）³ + 5³
98 = 14³ + 9³ + （-15）³
99 = 2³ + 3³ + 4³
100 = 7³ + （-3）³ + （-6）³
